EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =]  é um operador cujo observável corresponde à  ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO de cada elemento químico e partícula, NÍVEIS DE ENERGIA , número quântico , e o  sistema GENERALIZADO GRACELI.

COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..

As relações de Maxwell são um conjunto de equações em termodinâmica que são produzidas a partir da simetria das segundas derivadas e das definições dos potenciais termodinâmicos. Essas relações são nomeadas em homenagem ao físico do século XIX James Clerk Maxwell.

Equações

A estrutura das relações de Maxwell é caracterizada pela igualdade entre as segundas derivadas de funções contínuas. Segue-se diretamente a partir do fato de que a ordem de diferenciação de uma função analítica de duas variáveis é irrelevante (teorema de Schwarz). No caso das relações de Maxwell, se a função Φ considerada é um potencial termodinâmico e ${\displaystyle x_{i}}$ e ${\displaystyle x_{j}}$ são duas variáveis naturais diferentes para esse potencial, escreve-se^[1] (pelo teorema de Clairaut-Schwarz):

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}\right)}$,

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde as derivadas parciais são tomadas com todas as outras variáveis naturais mantidas constante. Observa-se que, para cada potencial termodinâmico, existem n(n-1)/2 possíveis relações Maxwell, onde n é o número de variáveis naturais para esse potencial.

As quatro relações mais comuns

As quatro relações de Maxwell mais comuns são as igualdades das segundas derivadas de cada um dos quatro potenciais termodinâmicos, com respeito a sua variável térmica natural (temperatura T ou entropia S) e a sua variável mecânica natural (pressão p ou volume V). Aqui resumimos:

Para a energia livre de Helmholtz:

${\displaystyle F=F(V,T)\rightarrow \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}}$;

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Para a entalpia:

${\displaystyle H=H(S,p)\Rightarrow \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}}$;

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Para a energia livre de Gibbs:

${\displaystyle G=G(T,p)\Rightarrow \left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T}=-\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}$;

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

E para a energia interna:

${\displaystyle U=U(S,V)\Rightarrow \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V}}$.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Os quadrados termodinâmicos (de Born) podem ser usados como um mnemônico para recordar e derivar essas relações. A utilidade das relações de Maxwell está nas quantificação de variações de entropia, que não são diretamente mensuráveis, em termos de quantidades mensuráveis como temperatura, volume e pressão.

Derivação

As relações de Maxwell são baseadas em regras simples de diferenciação parcial, em particular o diferencial total de uma função e a simetria para avaliação de derivadas parciais de segunda ordem.^[2]

[Expandir]Derivação

[Expandir]Derivação estendida

Relações de Maxwell gerais

O alistamento acima não encerra todas as relações de Maxwell. Quando outros termos de trabalho envolvendo outras variáveis naturais, além do volume, são considerados ou quando o número de partículas é incluído como uma variável natural, outras relações de Maxwell se tornam aparentes. Por exemplo, se tivermos um gás de um único componente cujo número de partículas N é também uma variável natural, então a relação de Maxwell para a entalpia no que diz respeito à pressão e ao número de partículas seria

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{S,N}=\left({\frac {\partial V}{\partial N}}\right)_{S,p}}$,

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

em que ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico. No que diz respeito à entropia e ao número de partículas seria

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial S}}\right)_{p,N}=\left({\frac {\partial T}{\partial N}}\right)_{p,S}}$.

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Assim, para H=H(S,p,N) temos n=3 variáveis e n(n-1)/2=3 relações de Maxwell.

Em termodinâmica, a relação de Gibbs-Duhem descreve as variações do potencial químico associadas as diferentes componentes de um sistema. Ela é consequência direta da relação de Euler para funções homogêneas e se escreve para um sistema de ${\displaystyle I}$ componentes^[1]:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{I}N_{i}\,\mathrm {d} \mu _{i}=-S\,\mathrm {d} T+V\,\mathrm {d} p\,}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

sendo ${\displaystyle N_{i}}$ o número de moles da componente i, ${\displaystyle \mu _{i}}$ o potencial químico da componente i, ${\displaystyle S}$ a entropia do sistema, ${\displaystyle T}$ a temperatura, ${\displaystyle V}$ o volume e ${\displaystyle p}$ a pressão.

A Equação de Gibbs-Helmholtz segue a seguinte fórmula:

${\displaystyle {\biggl (}{\operatorname {\partial } \!(\Delta G/T) \over \operatorname {\partial } \!T}{\Biggr )}_{P}=-{\operatorname {\Delta H} \! \over \ T^{2}}}$ 

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Sendo ΔG a variação da Energia Livre de Gibbs, T a Temperatura, P a Pressão e ΔH a Entalpia do processo.

Essa equação é aplicada em processos cuja entalpia é conhecida, permitindo facilmente obter-se a variação da Energia Livre de Gibbs em função da temperatura para um sistema cuja pressão é mantida constante.

Aplicação em Reações Químicas

Pode ser utilizada para gases ideais ou reais, possuindo aplicações nas áreas de Química, Engenharia Metalúrgica e Engenharia Química.

As aplicações típicas da equação são à partir da forma padrão o é a pressão padrão, já que valores de ΔG em uma determinada temperatura

são tabelados ou facilmente determinados experimentalmente.

${\displaystyle \left({\frac {\partial (\Delta G^{\ominus }/T)}{\partial T}}\right)_{p}=-{\frac {\Delta H}{T^{2}}}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Integrando a reação por separação de variáveis obtêm-se a fórmula:

${\displaystyle {\frac {\Delta G^{\ominus }(T_{2})}{T_{2}}}-{\frac {\Delta G^{\ominus }(T_{1})}{T_{1}}}=\Delta H^{\ominus }\left({\frac {1}{T_{2}}}-{\frac {1}{T_{1}}}\right)}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Essa equação permite o cálculo de qualquer variação de ΔG em qualquer temperatura desejada à partir do valor já conhecido.

Relação com a constante de Equilíbrio

O termo abaixo que surge na Equação de Gibbs-Helmholtz para uma isoterma:

${\displaystyle {\frac {\Delta G^{\ominus }}{T}}=-R\ln K}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Relaciona a Energia Livre de Gibbs com a constante de equilíbrio K, permitindo o desenvolvimento da Equação de Van't Hoff.

A equação de Antoine é um tipo de semicorrelação empírica que descreve a relação entre pressão de vapor e temperatura de substâncias puras. A equação de Antoine é derivada da relação de Clausius–Clapeyron. A equação foi apresentada em 1888 pelo engenheiro francês Louis Charles Antoine.^[1]

A equação

${\displaystyle \log _{10}p=A-{\frac {B}{C+T}}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde p é a pressão de vapor, T é a temperatura e A, B e C são parâmetros constantes específicos para uma determinada substância.

A forma simplificada com C igual a zero é chamada de equação de August, em referência ao físico alemão Ernst Ferdinand August:

${\displaystyle \ln p=A-{\frac {B}{T}}}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

A equação de August descreve uma relação linear entre o logaritmo da pressão e a recíproca da temperatura. Isso pressupõe uma entalpia de vaporização independente da temperatura. A equação de Antoine permite uma descrição melhorada, porém ainda inexata, da alteração da entalpia de vaporização com a temperatura.

A equação de Antoine também pode ser expressa com a temperatura explícita a partir de simples manipulações algébricas:

${\displaystyle T={\frac {B}{A-\ln p}}-C}$

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G* =  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  =